Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 23.2.0 • Page 304 de 396
On pourrait alors, dans le premier terme, remplacer u 0 par son expression (6.7). Cependant, les n équations
qu’on obtiendrait ainsi sont toutes moins simples que les équations initiales, de sorte qu’elles sont très rarement
utilisées. On préfère le plus souvent étudier le mouvement relatif des points P k par rapport à l’un d’entre eux,
d’autant plus que les seconds membres des équations initiales (6.1) ou (6.8) ne dépendent que des positions
relatives des P k . Choisissons P 0 comme corps de référence et posons :
r k = P 0 P k = u k − u 0 (6.9)
Avec P k P i = u i − u k = r i − r k , on déduit alors des équations (6.8) :
d 2 r k
dt 2 = d2 u k
dt 2 − d2 u 0
n∑ r i − r k
n∑
dt 2 = Km i
i=0 (i≠k) |r i − r k | 3 − r i − r 0
Km i
|r
i=1
i − r 0 | 3 (6.10)
Mais on a en particulier r 0 = 0, de sorte que cette équation devient, pour k = 1 à n :
d 2 r k
dt 2
= −K(m 0 + m k ) r n∑
(
k
|r k | 3 + ri − r k
Km i
i=1 (i≠k) |r i − r k | 3 − r )
i
|r i | 3
(6.11)
Ces équations décrivent le mouvement des P k dans un repère de directions fixes et d’origine P 0 (ce repère est en
translation non rectiligne et non uniforme, ce qui justifie les termes en Km i r i /|r i | 3 représentant l’accélération
d’entraînement de P 0 due à la présence de P i ). Le choix de P 0 comme référence pour le mouvement des P k est
arbitraire, mais on prend généralement le corps ayant la masse la plus élevée.
En supposant qu’on puisse résoudre ces n équations différentielles, on pourrait obtenir ensuite le mouvement
absolu des P k autour de G, puisqu’on a u k = r k + u 0 et m 0 u 0 = − ∑ n
k=1 m ku k , dont on déduit :
n∑ m k
n∑
n∑
u 0 = −
M r m i
k avec M = m k puis : u k = r k −
M r i
k=1
k=0
i=1
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