Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 24.1.0 • Page 310 de 396
Avant de voir dans quelles circonstances le problème des 3 corps peut être considéré comme une superposition
de problèmes képlériens perturbés, examinons certaines situations où ce problème est intégrable : elles
correspondent en fait à des positions d’équilibre relatif.
24.1. Positions d’équilibre – Points de Lagrange
Les équations du mouvement des 3 corps admettent 5 solutions d’équilibre relatif, c’est-à-dire des situations
où les rapports des distances mutuelles sont constants : Dans 2 de ces solutions, les 3 corps, restent équidistants
les uns des autres (ils sont donc à tout instant aux sommets d’un triangle équilatéral), tandis que dans les 3 autres,
les 3 corps restent constamment alignés avec des rapports de distance constants. Nous allons montrer que dans
ces 5 situations, P 1 et P 2 décrivent autour de P 0 , des mouvements képlériens coplanaires et de même foyer P 0 .
Les solutions “équilatérales” s’obtiennent en écrivant que dans les équations (6.16) et (6.17), on a à tout
instant : |r 1 | = |r 2 | = |r 1 − r 2 | ; on obtient alors :
d 2 r 1
dt 2 = −K(m 0 + m 1 + m 2 ) r 1
|r 1 | 3
d 2 r 2
dt 2 = −K(m 0 + m 1 + m 2 ) r (6.19)
2
|r 2 | 3
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