Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 22.2.2 • Page 296 de 396
G ′ 1 s’en déduit par intégration terme à terme :
G ′ 1(x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3, −, y ′ 2, y ′ 3) =
∑
k∈{(0,k 2 ,k 3 )}
k≠(0,0,0)
F (2)
k (x′′ )
k 2 n 1 2 + k 3 n 1 3
sin(k 2 y ′ 2 + k 3 y ′ 3)
(5.126)
On retrouve ici que les termes à longue période d’ordre 2 donnent, après intégration, des termes d’ordre 1.
On pourrait déterminer de manière analogue les parties d’ordres supérieurs jusqu’à un ordre suffisant. Il en
résulte un hamiltonien H ′′ (x ′′ , −) conduisant à x ′′ constant et à y ′′ fonction linéaire de t, comme en (5.100).
Les expressions (5.119) permettent ensuite de revenir aux variables x ′ et y ′ . Avec l’expression de G ′ 1 trouvée en
(5.126), on obtient les relations implicites :
x ′ 1 = x ′′
1
x ′ i = x ′′
i +
y ′ i = y ′′
i −
∑
k∈{(0,k 2 ,k 3 )}
k≠(0,0,0)
∑
∂x ′′
i
k∈{(0,k 2 ,k 3 )}
k≠(0,0,0)
ε
ε k i F (2)
k (x′′ )
k 2 n 1 2 + k 3 n 1 3
∂
(
cos(k 2 y ′ 2 + k 3 y ′ 3) pour i = 2 et 3
F (2)
k (x′′ )
)
k 2 n 1 2(x ′′ ) + k 3 n 1 3(x ′′ )
sin(k 2 y ′ 2 + k 3 y ′ 3) pour i = 1 à 3
(5.127)
Il faudrait encore inverser cette dernière équation pour exprimer les y ′ i uniquement en fonction des constantes
composant x ′′ et en fonction des composantes de y ′′ , fonctions linéaires en t ; on pourrait alors exprimer les x ′ i
en fonction de ces x ′′ et y ′′ , puis, par les relations (5.113), on remonterait aux variables initiales x et y.
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