Cours de Mécanique céleste classique

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13.2. Inversion de l’équation de Kepler
La dérivée dM = 1−e cos E est une fonction paire et périodique de E, de période 2π. Comme les anomalies
dE
w, E et M s’annulent en même temps (modulo 2π) et ont la même période, dM/dE est aussi une fonction paire
de w ou de M, de période 2π. Il en est de même de son inverse dE/dM égal par ailleurs à a/r (cf. (3.24)). Si
l’on développe a/r en série de Fourier de M, on en déduira, par intégration, E en fonction de M, c’est-à-dire
qu’on aura inversé l’équation de Kepler. On a :
a
r = 1 ∫ 2π
∞
a
2π 0 r dM + ∑
( ∫ 2 π
)
a
π
k=1
0 r cos kM dM cos kM
Or, avec (a/r)dM = dE, le terme constant de ce développement vaut 1, et avec M = E − e sin E, on obtient :
∞
a
r = 1 + ∑
( ∫ 2 π
)
cos k(E − e sin E) dE cos kM
π
k=1
0
Par ailleurs, les fonctions de Bessel de première espèce d’indice k, notées J k (x), sont définies par :
J k (x) = 1
2π
= 1
2π
= 1 π
∫ 2π
0
∫ 2π
0
∫ π
0
exp i(x sin u − ku) du
cos(ku − x sin u) du − i ∫ 2π
sin(ku − x sin u) du
2π 0
cos(ku − x sin u) du
(3.116a)
(3.116b)
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