Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 13.8.0 • Page 175 de 396
termes par degrés croissants :
R = 1 2 (X + ¯X) + 1 2 (X2 + ¯X 2 ) + 1 16 (9 X3 − X 2 ¯X − X ¯X2 + 9 ¯X 3 )+
+ 1 6 (4 X4 − X 3 ¯X − X ¯X3 + 4 ¯X 4 )+
+ 1
768 (625 X5 − 243 X 4 ¯X + 2 X
3 ¯X2 + 2 X 2 ¯X3 − 243 X ¯X 4 + 625 ¯X 5 ) + O(e 6 )
Exercice On peut en déduire r/a = 1/(1 + R) = 1 − R + R 2 − R 3 + R 4 − R 5 + O(e 6 ) où chaque R k est calculé en
ne conservant que les termes de degré global inférieur ou égal à 5. On peut ensuite calculer n’importe quelle
puissance positive de (a/r) ou de (r/a), toujours en limitant le degré global à 5.
De même, de la loi des aires : r 2 dw/dt = na 2√ 1 − e 2 et de dM = n dt, on peut tirer :
dw/dM = (a/r) 2√ 1 − X ¯X = (1 + 2R + R 2 )(1 − 1 2 X ¯X − 1 8 X2 ¯X2 + O(e 6 ))
Une fois exprimée sous forme de polynôme, on peut ensuite intégrer cette expression par rapport à M sachant
que, pour j ≠ k, on a : ∫ X j ¯Xk dM = −iX j ¯Xk /(j −k) (pour j = k on a X j ¯Xk = (X ¯X) j = e 2j qui ne dépend
pas de M, mais ces termes n’existent pas dans le développement de dw/dM). On obtient ainsi :
i(w − M) = X − ¯X + 1 8 (5 X2 − 5 ¯X 2 ) + 1 24 (13 X3 − 3 X 2 ¯X + 3 X ¯X2 − 13 ¯X 3 )
+ 1
192 (103 X4 − 44 X 3 ¯X + 44 X ¯X3 − 103 ¯X 4 )
+ 1
1920 (1097 X5 − 645 X 4 ¯X + 50 X
3 ¯X2 − 50 X 2 ¯X3 + 645 X ¯X 4 − 1097 ¯X 5 ) + O(e 6 )
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