Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.3 • Page 341 de 396
et de leurs conjuguées :
cos S =
1∑
j=−1
∑
M∈N 8 (d)
C M,j z k z k z ′k′ z ′k′ ζ l ζ l ζ ′l′ ζ ′l′ exp √ −1(pL + p ′ L ′ ) (6.66)
où les exposants vérifient les relations (6.64) et où les entiers relatifs p et p ′ sont reliés à j par les expressions :
p = k − k + l − l + j
p ′ = k ′ − k ′ + l ′ − l ′ − j
(6.67)
On peut enfin tirer de (6.66) l’expression plus classique de cos S, écrite en fonction des éléments orbitaux e,
e ′ , γ = sin(i/2), γ ′ = sin(i ′ /2) et des longitudes ϖ, ϖ ′ , Ω, Ω ′ , L et L ′ :
1∑ ∑
cosS =
C M,j e (k+k) e ′(k′ +k ′) γ (l+l) γ ′(l′ +l ′) ×
j=−1 M∈N 8 (d)
× exp √ −1 [pL + p ′ L ′ − (k − k)ϖ − (k ′ − k ′ )ϖ ′ − (l − l)Ω − (l ′ − l ′ )Ω ′ ]
(6.68)
où les exposants vérifient (6.64) et (6.67). Bien sûr, cos S est une quantité réelle exprimée ici sous forme complexe
: Alors, les termes complexes peuvent toujours se regrouper avec leur conjugué ; ainsi, pour chaque terme
du développement (6.68), exp √ −1(· · ·) peut être remplacé par 2 cos(· · ·) si l’argument (· · ·) est non nul, et par 1
s’il est nul.
Dev2.3.2
A partir de l’expression (6.61) de cos S, on peut aussi, par simples manipulations de polynômes, calculer
cos m S sous forme de développements formellement identiques à (6.63) ou (6.66) ou (6.68), sauf pour la sommation
sur j qui se ferait alors de j = −m à j = +m. Avec les résultats obtenus en (6.51), on peut également en
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