Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 22.1.2 • Page 274 de 396
dans ce cas de traiter les termes à longue période avec les termes séculaires et non avec les termes à courte
période.
Remarque 5. Le moyen mouvement n M est égal à n 0 pour i 0 = 54 ◦ 44 ′ ou 125 ◦ 16 ′ (racines de l’équation :
2 − 3 sin 2 i = 0). Il est plus petit ou plus grand que n 0 suivant que i 0 est ou non entre ces racines. Cependant,
comme le moyen mouvement ne s’annulle jamais, il n’y a pas ici d’inclinaison critique.
Remarque 6. La longitude moyenne “moyenne” : ¯L = ¯Ω + ¯ω + ¯M est bien sûr aussi une fonction linéaire de
t : ¯L = L 0 + n L t, avec
n L = n 0
[
1 + 3J 2
4
a 2 e
a 2 0
La quantité n L est appelée moyen mouvement moyen.
( 2 − 3 sin 2 i 0
(1 − e 2 0) + 4 − 5 sin2 i 0 − 2 cos i
)]
0
3/2 (1 − e 2 0) 2
(5.85)
Evaluons maintenant les termes à courte période provenant des perturbations par le J 2 et donnés en première
approximation par les expressions (5.77) et (5.78), solutions des équations (5.76). Ces dernières proviennent en
fait de l’application des équations de Lagrange sur la partie “périodique” de U, c’est-à-dire dépendant explicitement
des variables angulaires. D’après (5.59), cette partie s’écrit :
Ũ J2 = µ J 2
a 2 e
a 3
∞
∑
k=1
{(
1 − 3 )
2 sin2 i X −3,0
k
(e) cos kM +
+ 3 (
4 sin2 i
X −3,2
k
)}
(e) cos(kM + 2ω) + X −3,−2
k
(e) cos(kM − 2ω)
(5.86)
En appliquant les équations de Lagrange (5.45) à (5.50) à ŨJ 2
, et en y remplaçant µ par n 2 0a 3 0 et les éléments
osculateurs par leur valeur moyenne obtenue en (5.81) à (5.84), on trouve alors, par exemple pour les équations
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