Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 24.2.0 • Page 318 de 396
qualitativement la même forme pour d’autres valeurs de ν.
1.5
0.5
y 0
–0.5
–1
–1.5
1
–1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5
x
Figure A
3.5
3
2.5
2
1.5
1.5
0.5
1
Figure B
y 0
–0.5
–1
–1.5
–1.5
1.5
1
0.5
0
–0.5 x
–1
Le fond de chaque vallée correspond à C 1 = 1, 5 (quelque soit ν), là où la courbe de vitesse nulle est réduite à un
point ; ce point correspond précisément à l’un des points d’équilibre équilatéral de Lagrange L 4 ou L 5 : Si l’on
place P 2 en l’un de ces points avec une vitesse nulle, il y reste car en ces points on a grad W 1 = 0. Au contraire,
si l’on place P 2 en l’un de ces points avec une vitesse V non nulle, la constante C 1 est alors inférieure à 1, 5 (elle
vaut 1, 5 − V 2 /(2n 2 1a 3 1)) et donc le plan z = C 1 ne coupe pas la surface z = W 1 (x, y). Dans ces conditions,
P 2 peut à priori atteindre n’importe quel point (x, y) du plan et sa vitesse ne s’annulle jamais. L’étude des
éventuels petits mouvements au voisinage des positions L 4 et L 5 est un autre problème : On pourrait le résoudre
en linéarisant les équations (6.25) et (6.26), c’est-à-dire en faisant le changement de variables : (x, y) ↦→ (ξ, η)
défini par x = a 1 (1/2 + ξ) et y = a 1 (± √ 3/2 + η) et en supposant que ξ et η sont des infiniment petits d’ordre
1 ; c’est de cette façon que l’on obtient la condition de stabilité annoncée dans le paragraphe précédent car on
montre que les petits mouvements existent si l’on a : 27ν(1 − ν) < 1 d’où l’on tire : m 0
m 1
> (25 + √ 621)/2.
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