Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 13.7.0 • Page 167 de 396
En utilisant encore M = E − e sin E et (a/r)dM = dE, il résulte :
X n,m
k
(e) = 1
2π
∫ 2π
0
1
(1 + q 2 ) n+1 (1 − q exp −iE)n+m+1 (1 − q exp iE) n−m+1
× exp i[(m − k)E + ke sin E] dE
En développant chaque parenthèse par la formule du binôme, on trouve :
X n,m 1 ∑ ∞ ∞∑
∫
k
(e) =
(1 + q 2 ) n+1 (−q) l+h C n,m 1 2π
l,h
exp i[(m − k − l + h)E + ke sin E] dE
2π
avec :
(
n + m + 1
l=0
h=0
) (
n − m + 1
h
)
0
( )
n
=
k
C n,m
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
l,h
=
où
l
k!
Si (n + m + 1) est positif, la série en l est en fait un polynôme ; même chose pour la série en h si (n − m + 1)
est positif. On trouve finalement, après avoir réordonné les termes de cette série absolument convergente :
∑ ∞ p∑
X n,m
k
(e) = (1 + q 2 ) −n−1 (−q) p C n,m
p−h,h J k−m+p−2h(ke)
(3.135)
p=0
On vérifie que X n,m
k
(e) est du même ordre minimal que le terme de degré le plus bas : J k−m , c’est-à-dire de
l’ordre de e |k−m| .
h=0
13.7. Développements en série entière de l’excentricité
Les séries de Fourier trouvées précédemment ont toutes des coefficients qui s’expriment sous forme de séries
entières de l’excentricité. En permutant l’ordre des sommations et en réorganisant l’ordre des termes de façon
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