Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.2 • Page 335 de 396
On en déduit aisément, pour tout n, un développement polynomial de r n /r ′n+1 , en fonction des 4 variables
X, X, X ′ et X ′ , sous la forme :
r n
r ′n+1 = 1 ( r
) n ( a
′ ) n+1 αn = α
n 1
a ′ a r ′ a ′
∑
K∈N 4 (d)
C n,0
k,k C−n−1,0 k ′ ,k ′ X k X k X ′k′ X ′k′ (6.51)
N 4 (d) représente ici l’ensemble des 4-uplets d’entiers positifs ou nuls : (k, k, k ′ , k ′ ), vérifiant les inégalités :
0 ≤ k + k + k ′ + k ′ ≤ d
On a tronqué ici le développement au degré global d, mais on pourrait bien sûr adopter des niveaux de troncature
différents pour chaque excentricité.
En exprimant, grâce à (6.47), X et X ′ en fonction de z, z ′ et des longitudes moyennes, ou en fonction des
excentricités et des longitudes des périhélies, on obtient encore :
r n
r ′n+1 = αn 1 a ′
∑
K∈N 4 (d)
= α n 1 a ′ ∑
K∈N 4 (d)
C n,0
k,k C−n−1,0 k ′ ,k ′ z k z k z ′k′ z ′k′ exp √ −1 ((k − k)L + (k ′ − k ′ )L ′ )
C n,0
k,k C−n−1,0 k ′ ,k ′ e (k+k) e ′(k′ +k ′) ×
× exp √ −1 ((k − k)(L − ϖ) + (k ′ − k ′ )(L ′ − ϖ ′ ))
(6.52)
Par exemple, en utilisant (6.50), on trouve pour le terme correspondant à n = 2 dans (6.48) (au degré 2 en e et
e ′ ) :
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