Cours de Mécanique céleste classique

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indépendante à la place de t, en écrivant : r 2 dw = n 0 a 2 0(1 − e 2 0) 1/2 dt. Par exemple, l’équation (5.35) relative à
Ω devient :
dΩ
dw = − 3 J
(
2 ae
) 2 a 0
2 1 − e 2 0
a 0 r cos i 0 (1 − cos(2ω 0 + 2w))
En y remplaçant
a 0
r
dΩ
dw = − 3 2
par 1 + e 0 cos w
1 − e 2 0
et on peut intégrer par rapport à w :
, on obtient ensuite :
J 2
(1 − e 2 0) 2 ( ae
a 0
) 2
cos i0
(
1 + e 0 cos w − cos(2ω 0 + 2w) +
− e 0
2 cos(2ω 0 + w) − e 0
2 cos(2ω 0 + 3w)
Ω = Ω 0 − 3 J 2 cos i
(
0 ae
) 2
w +
2 (1 − e 2 0) 2 a 0
− 3 J 2 cos i
(
0 ae
) 2 (
2 (1 − e 2 0) 2 e 0 sin w − 1 a 0 2 sin(2ω 0 + 2w) +
− e 0
2 sin(2ω 0 + w) − e 0
6 sin(2ω 0 + 3w)
)
)
(5.91)
On retrouve la rétrogradation séculaire du nœud obtenue en (5.84), et l’ordre de grandeur des perturbations
périodiques (il faudrait développer w en fonction de e et M pour retrouver exactement l’expression (5.90)).
On pourrait procéder de la même façon avec les autres équations (5.34) à (5.39) pour trouver les perturbations
d’ordre 1 des autres éléments dues au J 2 et exprimées sous forme finie en fonction de w ; cependant, cette façon
de procéder ne marche qu’à l’ordre 1 ; elle ne peut pas être itérée et on ne peut donc pas trouver les perturbations
d’ordre supérieur exprimées sous forme finie en fonction de w.
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