Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 8.0.0 • Page 78 de 396
Du théorème 2, on déduit encore 4 conditions équivalentes pour qu’un changement de variables soit canonique
:
∑ n
j=1 (p jdq j − y j dx j ) + (H ′ − H) dt = dG 1 (2.24)
∑ n
j=1 (p jdq j + x j dy j ) + (H ′ − H) dt = dG 2 (2.25)
∑ n
j=1 (−q jdp j − y j dx j ) + (H ′ − H) dt = dG 3 (2.26)
∑ n
j=1 (−q jdp j + x j dy j ) + (H ′ − H) dt = dG 4 (2.27)
Exercice où les seconds membres sont les différentielles totales de fonctions différentes notées G 1 à G 4 . La relation
(2.24) n’est autre que la condition nécessaire et suffisante (2.19). On en déduit immédiatement les suivantes, par
exemple (2.25), simplement en écrivant :
∑
(p i dq i + x i dy i − x i dy i − y i dx i ) + (H ′ − H)dt = dG 1
i
soit
∑
(p i dq i + x i dy i ) + (H ′ − H)dt = dG 1 + d( ∑ x i y i ) = d(G 1 + ∑ x i y i )
i
i
i
Ainsi, G 2 représente G 1 + ∑ i x iy i . On procèderait de même pour obtenir (2.26) et (2.27).
Exemple 1 : Si A = (a ij ) est une matrice carrée de rang n constante et unitaire (son inverse A −1 est égale à sa
transposée A t ), le changement de variables suivant est canonique :
n∑
n∑
q i = a ij x j ; p i = a ij y j
j=1
j=1
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