Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 24.2.0 • Page 316 de 396
avec
W = n2 1
2
)
((x − νa 1 ) 2 + y 2 +
Km 0
(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 + Km 1
((a 1 − x) 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 (6.26)
où l’on a posé :
m 1
ν =
m 0 + m 1
On remarque le premier terme, représentatif de l’accélération d’entraînement et qui correspond à une rotation
autour de G, centre de masses de P 0 et de P 1 : En effet, le mouvement de R par rapport à un repère galiléen se
décompose en une rotation autour de G suivie d’une translation de vecteur GP 0 = −νa 1 i. Les deux autres termes
représentent les potentiels de gravitation de P 0 et de P 1 en P 2 . En multipliant les équations (6.25) respectivement
par ẋ, ẏ et ż, puis en les additionnant membre à membre, on obtient une expression intégrable aboutissant à
l’intégrale de Jacobi du problème restreint des trois corps :
1
2 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) = W − C (6.27)
où C est une constante que l’on peut évaluer à partir des conditions initiales. Comme le membre de gauche est
toujours positif ou nul, le mouvement de P 2 est confiné dans le domaine où l’on a : W ≥ C. La surface qui
limite ce domaine, définie par W = C, est appelée surface de vitesse nulle. Pour obtenir une expression plus
symétrique de W on pose d’abord :
puis on vérifie que l’on a :
ρ 2 0 = x 2 + y 2 + z 2 et ρ 2 1 = (x − a 1 ) 2 + y 2 + z 2
(x − νa 1 ) 2 + y 2 = (1 − ν)ρ 2 0 + νρ 2 1 − z 2 − ν(1 − ν)a 2 1
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