Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 13.2.0 • Page 153 de 396
13.1. Séries de Fourier
Soit f(x) une fonction périodique de période 2π, à variations bornées pour tout x ; on suppose que f est
intégrable ainsi que les produits f(x) sin nx, f(x) cos nx ou f(x) exp inx pour tout n (où i 2 = −1). Alors, les
séries :
∞∑
S 1 = a 0 + (a k cos kx + b k sin kx)
avec
b k = 1 π
a 0 = 1
2π
∫ 2π
0
S 2 =
∫ 2π
0
k=1
+∞∑
k=−∞
f(x) dx
c k exp ikx
a k = 1 π
f(x) sin kx dx c k = 1
2π
∫ 2π
0
∫ 2π
0
f(x) cos kx dx
f(x) exp −ikx dx (3.115)
convergent vers la valeur de f(x) si f est continue en x, et sinon vers la valeur moyenne (f(x +0 )+f(x −0 ))/2. Si
f est continue dans un intervalle, les séries précédentes convergent uniformément vers f(x) dans cet intervalle.
On a en outre les propriétés utiles :
– Si f est impaire, on a : a k = 0 et b k = π
2 ∫ π
f(x) sin kx dx ∀k
0
– Si f est paire, on a : b k = 0 et a k = π
2 ∫ π
f(x) cos kx dx ∀k
0
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