Cours de Mécanique céleste classique

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Alors, on voit que le problème sera ramené à un cas intégrable si l’on peut transformer l’hamiltonien complet H
par des changements de variables canoniques, de façon à ce que l’hamiltonien final ne dépende plus des variables
angulaires, tout comme H (0) : c’est le but de la méthode de Von Zeipel.
Le principe de cette méthode est de ainsi de construire, par approximations successives, la fonction génératrice
d’un changement de variables canoniques (x, y) ↦→ (x ′ , y ′ ) de telle sorte :
– que ce soit une identité à ε près,
– qu’il conserve la valeur de l’hamiltonien,
– que le nouvel hamiltonien H ′ ne dépende plus d’une ou plusieurs des variables angulaires, au moins jusqu’à
un certain ordre en ε.
Dans la méthode proposée par Von Zeipel en 1916, on élimine ainsi les variables angulaires “rapides” qui,
comme l’anomalie moyenne, ont une variation d’ordre 0 en ε ; cela revient à faire en sorte que le nouvel hamiltonien
ne contienne plus de terme à courte période : on obtient un hamiltonien “moyennisé” contenant uniquement
des termes séculaires et à longues périodes, et qui permet donc l’étude des mouvements lents ou à longues périodes.
Brouwer a montré en 1959 que l’on peut, sous certaines conditions, répéter l’opération pour éliminer de
l’hamiltonien les variables angulaires restantes (variables “lentes” comme l’argument du péricentre et la longitude
du nœud qui ont des variations de l’ordre de ε), le rendant finalement intégrable. Remarquons que dans le
cas de l’hamiltonien (5.97), la longitude du nœud étant déjà absente, après l’anomalie moyenne, il ne resterait à
éliminer que l’argument du péricentre. Pour revenir aux variables initiales, il reste alors à reprendre dans l’ordre
inverse les changements de variables successifs qu’on a généré.
Dans ce qui suit, on va supposer que y 1 est une variable “rapide” que l’on va éliminer, et que y 2 et y 3 sont des
variables “lentes”. Cela revient à supposer que H (0) ne dépend en fait que de la seule variable x 1 :
H (0) (x, −) ≡ H (0) (x 1 , −, −, −, −, −)
En effet d’après (5.100), seule la variable y 1 est alors une variable “rapide” car possèdant une variation d’ordre
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