Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 19.0.0 • Page 227 de 396
Le calcul de l’instant de passage au péricentre, t p , nécessite quelques intermédiaires, rappelés ici dans le cas d’un
mouvement elliptique :
a = −µ/2h et n = √ µ/a 3
e cos E = 1 − r/a et e sin E = r · ṙ/na 2
n(t − t p ) = E − e sin E = M(t) = M 0 + n(t − t 0 ) (5.5)
Dans la dernière relation, on a rappelé qu’à la place de la constante t p , on utilise volontiers M 0 , anomalie
moyenne à un instant t 0 donné.
Il est bien sûr plus commode de décrire le mouvement par l’intermédiaire de 6 constantes : alors que dans
l’espace R 3 × R 3 des position-vitesse (de dimension 6), la trajectoire de P est représentée par une conique de
foyer O et par un cercle-hodographe, dans l’espace K µ des mouvements képlériens de foyer O et de constante µ
(également de dimension 6), elle est représentée par un point fixe (défini par exemple par (p, e, i, Ω, ω, t p ), sauf
singularité ou dégénérescence éventuelle).
Si F n’est plus nul, le mouvement de P n’est plus képlérien, mais il existe, à tout instant, un mouvement
képlérien tangent au mouvement réel : c’est le mouvement képlérien instantané défini par r et ṙ à cet instant.
C’est aussi le mouvement képlérien que décrirait P si, à partir de cet instant, F demeurait nul. Ce mouvement
instantané est appelé mouvement képlérien osculateur ; les éléments d’orbite correspondants sont des éléments
osculateurs. On se propose d’établir la façon dont ils varient en fonction de F.
Tant que F n’est pas nul, entre les instants t et t + dt, la vitesse ṙ varie d’une façon différente de celle d’un
mouvement képlérien car dans ce cas on aurait :
(dṙ) képlérien
= − µ r
(
r 3 dt alors qu’on a : dṙ = − µ r )
r 3 + F dt
Le mouvement képlérien osculateur associé aux valeurs de r et ṙ à l’instant t + dt, est alors représenté par des
éléments G, e, t p ou M 0 différents de ceux qu’on avait à l’instant t : les éléments d’orbite que l’on peut calculer
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