Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 1 • section 4.5.0 • Page 56 de 396
4.5. Théorème de l’énergie cinétique
Considérons le cas général d’un système (S) composé de points P i de masses m i subissant un ensemble de
forces F(P i ). En multipliant membre à membre l’équation fondamentale de chaque point par la vitesse de ce
point, et en sommant pour tous les points de (S), on obtient :
∑
m i Γ(P i /R a ) · V(P i /R a ) = ∑
F(P i ) · V(P i /R a ) (1.40)
P i ∈(S)
Le membre de gauche n’est autre que la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique de (S) dans R a ,
tandis que celui de droite représente la puissance dans R a de toutes les forces appliquées sur (S) aux points P j :
⎛
⎞
dT (S/R a )
= d ⎝ 1 ∑
m i [V(P i /R a )] 2 ⎠ = ∑
m i Γ(P i /R a ) · V(P i /R a )
dt dt 2
P i ∈(S)
P i ∈(S)
P i ∈(S)
et
P({F(P i ) | P i ∈ (S)}/R a ) = ∑
P i ∈(S)
F(P i ) · V(P i /R a )
La puissance de certaines forces peut être nulle. Par exemple, on a vu que les forces intérieures à un système
forment un torseur nul ; si ce système est un solide, on montre que la puissance de ces forces est nulle dans tout
repère. Autre exemple : Si un système est soumis à des liaisons dites ‘sans frottement’ ou ‘idéales’, cela signifie
que les forces d’interaction correspondantes ont une puissance nulle (ou ne consomment pas d’énergie).
En éliminant ainsi les forces dont la puissance est nulle, il peut arriver que les forces restantes aient une
puissance dont l’expression soit la dérivée par rapport au temps d’une fonction W S , dite fonction de forces,
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