Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 22.1.1 • Page 270 de 396
k = (0, 0, 0), cela revient à dire qu’aucune des combinaisons possibles (jn M + kn ω + ln Ω ) ne doit être très petite
par rapport à ¯n. Cependant, il peut a priori exister des triplets non nuls engendrant des combinaisons de l’ordre
de ε ¯n : il suffit que j soit nul et alors kn ω + ln Ω est bien de l’ordre de ε ¯n. Ces termes à basse fréquence, dont
l’argument ne dépend pas de M, sont appelés termes à longue période, tandis que ceux dépendant de M sont par
définition des termes à courte période. En les intégrant comme en (5.77), les termes à longue période donneraient
donc des termes d’ordre zéro dans les solutions ∆x i (notons cependant que de tels termes ne peuvent apparaître
dans la partie intégrée deux fois car, étant indépendants de M, ils sont automatiquement absents de l’équation
donnant da
dt (égal à na 2
∂M ∂U ) et de sa solution ∆a). Pour qu’ils n’apparaissent pas dans ∆x i, on devrait donc
exclure les termes à longue période des seconds membres de (5.76) et les replacer, avec les termes séculaires,
dans les équations (5.74) donnant d¯x i
dt .
En fait, dans le cas de la perturbation par J 2 , le seul terme à longue période qu’on pourrait avoir dans U J2 est
celui dont l’argument est 2ω, mais on a vu qu’il est identiquement nul. Donc, le schéma d’intégration proposé
ci-dessus convient et il n’y a pas de terme à longue période dans cette première approximation si l’on réduit les
perturbations à la seule partie en J 2 . Cependant, si en plus de cette partie on considérait la partie correspondant au
J 4 , on trouverait un terme en cos 2ω (cf. (5.58)) ; toutefois, comme J 4 est généralement de l’ordre de J 2 2 (donc de
l’ordre de ε 2 ) et comme n ω est de l’ordre de ε ¯n, l’intégration du terme ¯nJ 4 P (¯x 1 ) cos 2¯ω donne ¯nJ 4
2n ω
P (¯x 1 ) sin 2¯ω,
c’est-à-dire finalement une quantité de l’ordre de ε. Donc, là encore, le schéma d’intégration convient, mais il
faut noter qu’en général, un terme à longue période en facteur de ε p dans les seconds membres des équations, se
retrouve en facteur de ε p−1 dans la solution.
Avant de voir la deuxième approximation, il convient d’examiner l’ordre de grandeur des perturbations pour
justifier l’hypothèse faite sur la petitesse des termes périodiques par rapport aux termes séculaires. Nous ferons
cette justification d’un point de vue pratique, en appliquant la première approximation trouvée ci-dessus au cas
d’un satellite artificiel de la Terre perturbé uniquement par les termes en J 2 du potentiel de gravitation.
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