Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 6.0.0 • Page 63 de 396
n∑
[ d
dt
j=1
( ) ∂T
− ∂T ]
δq j =
∂ ˙q j ∂q j
n∑
Φ j δq j ∀ δq j (2.3)
Comme cette égalité est vraie quels que soient les δq j , et parce que les n paramètres q j sont supposés indépendants
les uns des autres, on en déduit les n équations différentielles suivantes :
( )
d ∂T
− ∂T = Φ j j = 1 · · · n (2.4)
dt ∂ ˙q j ∂q j
j=1
Ces équations sont les équations de Lagrange du système (S). Elles viennent d’être établies dans le cas où
les n paramètres sont indépendants. Si au contraire il existe p relations de dépendance entre ces n paramètres
(p < n), soit :{a k (q 1 , · · · q n ) = 0} k=1···p , des “déplacements” virtuels δq j compatibles avec ces liaisons devront
satisfaire les p contraintes :
n∑ ∂a k
δq j = 0
∂q j
j=1
Les forces qui maintiennent ces liaisons développent un travail élémentaire exprimable sous la forme :
p∑ n∑ ∂a k
dW = λ k dq j
∂q j
k=1 j=1
où les λ k sont des composantes (inconnues à priori) de ces forces. Le travail virtuel de ces efforts de liaison est
alors simplement :
p∑ n∑ ∂a k
δW = λ k δq j
∂q j
k=1 j=1
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