Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 26.0.7 • Page 362 de 396
avec I matrice unité de rang n, et V et A matrices carrées diagonales d’éléments respectifs ν k et η k .
La notion d’inégalité et de caractéristique d’inégalité vue en (6.70) peut être généralisée pour des combinaisons
linéaires des n longitudes moyennes : p 1 L 1 + · · · + p n L n avec C I = ∑ i p i ; en notant p = (p 1 , . . . , p n )
la matrice ligne formée des entiers relatifs p i , une telle inégalité peut être représentée par le produit de matrices
(p · L) ; on la notera aussi parfois (p 1 , . . . , p n ) ou simplement (p), et par exemple, l’inégalité séculaire qui correspond
à p 1 = p 2 = · · · = p n = 0 sera notée (0). Les équations de Lagrange (5.52) écrites pour chaque planète
peuvent alors se regrouper sous forme matricielle pour donner :
dA
dt = √ −1 N ∑
dX
dt =
dZ
dt =
√ −1 N
√ −1 N
(p)≠(0)
ɛ P (A)
1,p (A, X , Z) exp √ −1(p · L) (6.114)
[
ɛ S (X )
1 (A, X , Z) + ∑
(p)≠(0)
[
ɛ S (Z)
1 (A, X , Z) + ∑
(p)≠(0)
dL
dt = N + N [
ɛ S (L)
1 (A, X , Z) + ∑
(p)≠(0)
]
ɛ P (X )
1,p (A, X , Z) exp √ −1(p · L)
]
ɛ P (Z)
1,p (A, X , Z) exp √ −1(p · L)
]
ɛ P (L)
1,p (A, X , Z) exp √ −1(p · L)
(6.115)
(6.116)
(6.117)
Dans ces équations, ɛ indique simplement que les termes en facteur sont au moins d’ordre 1 des masses, puisque
proportionnels à l’une des masses perturbatrices ɛ i , et on a séparé l’inégalité séculaire des autres. Dans la suite,
on appellera U l’une quelconque des variables matricielles A, X , Z ou L ; les matrices colonnes S (U)
1 (A, X , Z)
et P (U)
1,p (A, X , Z) exp √ −1(p·L) représentent respectivement la partie séculaire (ou indépendante des longitudes
moyennes), et la partie périodique de l’équation relative à U.
Remarque 1. Dans dA/dt, la partie séculaire est nulle puisque, d’après (5.52), da k
dt ou dη k
est dérivé des termes
dt
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