Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.4.2 • Page 197 de 396
Devant être nulle quelque soit P , donc quelque soit λ, cette somme est nécessairement nulle terme à terme ; c’est
donc le facteur de exp ipλ qui est nul pour chaque valeur de n et de p. En posant s = sin ϕ et P n
(p) (s) = C n
(p) (ϕ),
ce facteur nul devient l’équation différentielle du second ordre suivante :
)
(n(n + 1) − p2
(p)
1 − s 2 P n
(p) dP n
− 2s + (1 − s 2 ) d2 P n
(p)
ds
ds 2 = 0 (4.16)
Manifestement, on a : P n
(p) = P n
(−p) . On montre que les solutions normalisées de (4.16) sont les fonctions
associées de Legendre, ainsi définies :
P (p)
n (s) = (1 − s2 ) p/2
2 n n!
d n+p
ds n+p (s2 − 1) n pour p ≥ 0 (4.17)
On voit que ces fonctions sont nulles pour p > n . Pour p = 0, ces fonctions sont des polynômes de degré n en
s, appelés polynômes de Legendre :
Il y a donc 2n + 1 fonctions P n
(p)
indépendantes d’ordre n :
P n (s) = P (0)
n (s) = 1
2 n n!
d n
ds n (s2 − 1) n (4.18)
non nulles, et corrélativement, 2n + 1 fonctions harmoniques sphériques
P n (sin ϕ), P n (1) (sin ϕ) cos λ, P n
(1) (sin ϕ) sin λ, . . . , P n
(n) (sin ϕ) cos nλ, P n
(n) (sin ϕ) sin nλ
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