Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 24.0.0 • Page 308 de 396
puis, tenant compte de (6.7) et (6.9), on obtient ces relations entre les v i et les u i :
v i = u i − 1 ∑i−1
µ i−1
j=0
m j u j et pour i ≥ 0 : u i = v i −
n∑
j=i
m j
µ j
v j
L’énergie cinétique T des N corps dans leur mouvement absolu dépendait des n+1 vitesses ˙u i ; elle se transforme
alors en une expression ne dépendant plus que des n variables ˙v j :
T = 1 n∑ µ j−1
m j ˙v j
2 2 µ j
Exercice Par ailleurs, dans l’énergie potentielle U donnée en (6.6), les distances |P k P i | = |r i − r k | s’expriment en
fonction de l’ensemble des v j (et aussi des masses). L’hamiltonien H = T + U s’exprime donc en fonction
de 2n variables canoniques vectorielles : les v j et leurs conjuguées ṽ j = ∂T
∂ ˙v j
(ou en fonction des 6n variables
canoniques que sont les composantes cartésiennes de ces 2n vecteurs). Ainsi, le paramétrage de Jacobi permet à
la fois de réduire l’ordre du système différentiel et de donner des équations sous forme canonique. Cependant,
comme les distances mutuelles des P i sont ici des fonctions des masses d’autant plus compliquées que n est
grand ; aussi, c’est surtout dans le problème des 3 corps que l’on trouve l’utilisation pratique des variables de
Jacobi.
j=1
24. Introduction au problème des 3 corps
Avant d’aborder l’étude du mouvement de N corps dans le système solaire (le Soleil, les planètes et leurs
satellites), il convient de voir quelques propriétés du fameux problème des 3 corps. Des générations de mécaniciens
célestes se sont attaquées à ce problème sans en venir à bout tant il est riche en difficultés de toutes sortes
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