Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 24.1.0 • Page 312 de 396
fixe, par exemple sur l’axe P 0 i), le point P 2 est alors également fixe, dans le plan P 0 ij, au troisième sommet de
l’un des 2 triangles équilatéraux que l’on peut construire sur le côté P 0 P 1 dans ce plan. Les 2 positions d’équilibre
correspondantes sont les points de Lagrange appelés L 4 et L 5 . Si la masse m 2 est négligeable devant m 0 et m 1
(problème restreint circulaire), on peut montrer que les positions de P 2 en L 4 ou en L 5 sont stables (au sens de
l’existence de petits mouvements dans leur voisinage) si les masses m 0 et m 1 vérifient : m 0
m 1
> (25 + √ 621)/2.
Exercice
Dans le système solaire, on rencontre plusieurs de ces situations d’équilibre au voisinage de points de Lagrange
: On trouve d’abord de nombreuses petites planètes qui se maintiennent sensiblement à égales distances
du Soleil et de Jupiter, précédant ou suivant cette planète d’environ 60 ◦ dans son mouvement héliocentrique ; on
peut montrer en effet que chacune de ces petites planètes forme avec le Soleil et Jupiter un problème de 3 corps,
les autres planètes ne les perturbant pas suffisamment pour détruire la stabilité de cet équilibre (la condition
de stabilité : m ⊙ /m jup = 1047 est bien vérifiée) ; ces petites planètes qui accompagnent Jupiter sont appelées
planètes “troyennes” car on leur a donné des noms des héros de la guerre de Troie : Achille, Ulysse, Ajax, Nestor
etc. Par ailleurs, on sait depuis 1980 que Téthys et Dioné, 2 parmi les 8 gros satellites de Saturne,“possèdent”
aussi 3 petits satellites coorbitaux dans le voisinage de leurs points de Lagrange : Telesto et Calypso accompagnent
Téthys aux environs des points respectifs L 4 et L 5 du système Saturne-Téthys, tandis que Hélène suit
Dioné au environs du point L 4 du système Saturne-Dioné.
Quant aux solutions d’équilibre “alignées”, on les obtient en écrivant que dans les équations (6.16) et (6.17)
on a à tout instant : r 2 = αr 1 où α est une constante ; alors, avec r 1 − r 2 = (1 − α)r 1 , on obtient :
d 2 r
(
(
1
α
dt 2 = −K m 0 + m 1 + m 2
|α| 3 + 1 − α )) r1
|1 − α| 3 |r 1 | 3
d 2 r
(
2
dt 2 = −K |α| 3
m 0 + m 2 + m 1
α
(
1 − 1 − α
|1 − α| 3 )) r2
|r 2 | 3 (6.20)
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