Cours de Mécanique céleste classique

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En supposant que ces efforts de liaisons n’étaient pas comptés dans les forces F(P i ) qui engendraient les composantes
Φ j , le principe des travaux virtuels est maintenant donné par :
n∑
[ ( ) d ∂T
− ∂T ] [
]
n∑
p∑ ∂a k
δq j = Φ j + λ k δq j ∀ δq j
dt ∂ ˙q j ∂q j ∂q j
j=1
j=1
Les expressions de T et des Φ j utilisées dans cette équation dépendent des n variables q i , sans tenir compte
des p relations de liaison existant entre elles. En fait, on considère donc ces variables comme indépendantes, et on
déduit comme précédemment n équations de Lagrange, dépendant cependant de p multiplicateurs de Lagrange
λ k :
( )
d ∂T
− ∂T = Φ j +
dt ∂ ˙q j ∂q j
p∑
k=1
k=1
λ k
∂a k
∂q j
j = 1 · · · n (2.5)
Pour pouvoir résoudre (déterminer les q i et les λ k ), il faut compléter le système d’équations avec les p relations
de liaison.
On obtient des équations analogues, avec multiplicateurs, lorsque les contraintes dues aux liaisons sont directement
de la forme ∑ j b kjδq j = 0 sans que les b kj soient les dérivées partielles de fonctions a k par rapport à
q j ; dans (2.5), les b kj viennent alors simplement remplacer les ∂a k
∂q j
. Notons encore qu’en mécanique céleste, les
systèmes dynamiques sont rarement soumis à des liaisons physiques réelles de sorte que l’usage des équations
“avec multiplicateurs” est peu fréquent.
Dans le cas où certaines parties du système ont un mouvement imposé, donné en fonction du temps, l’énergie
cinétique peut dépendre explicitement du temps, c’est-à-dire qu’on a : T ≡ T (q i , ˙q i , t). Cela ne modifie pas
les équations de Lagrange (2.4) si les déplacements virtuels compatibles avec les liaisons correspondant au
paramétrage du système sont faits à l’instant t, c’est-à-dire en considérant δt = 0. Sinon, il faut considérer t
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