Cours de Mécanique céleste classique

⊙ ⊕ ∅
Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 13.3.0 • Page 156 de 396
est comparable à (3.115), montrant que J k (x) est le coefficient de Fourier c k dans le développement en série de
Fourier en u de la fonction exp i(x sin u) :
exp i(x sin u) =
+∞∑
k=−∞
En posant z = exp iu, on a aussi : i sin u = 1 (z − 1/z), puis :
2
Or, on a aussi :
exp x 2 (z − 1/z) = +∞
∑
J k (x) exp iku
k=−∞
exp x ∞
xz −x
(z − 1/z) = exp × exp
2 2 2z = ∑ 1
m!
m=0
J k (x) z k (3.120)
( xz
) m ∑ ∞
(−1) n
×
2
n!
n=0
Exercice En identifiant le coefficient de z k dans ces 2 expressions de exp x (z − 1/z), on obtient :
2
J k (x) =
∞∑
n=0
(−1) n 1
n!(n + k)!
( x
2
( x
2z
) n
) k+2n
si k ≥ 0 (3.121)
et
J −h (x) =
∞∑
m=0
(−1) m+h 1
m!(m + h)!
( x
) h+2m
si k = −h ≤ 0
2
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