Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.5 • Page 349 de 396
(6.78) et (6.80), on déduit le développement de D −n :
D −n =
+∞∑
+∞∑
j=−∞ m=0
( r
) |j| ( a
′
ϕ n,m(α (|j|)
0 ) (1 + δ) |j| a
×
) |j|
×
r ′
( ( r
) 2 ( a
′ ) ) 2 m
(1 + δ) 2 − 1
a r ′ exp √ −1j(l − l ′ )
(6.82)
où les fonctions de α 0 sont calculables par l’une ou l’autre des formules (avec j ≥ 0) :
ϕ (j)
n,m(α 0 ) = ( n 2 ) j( n 2 ) m( n 2 + j) m
(1) j (1) m (1 + j) m
α j+2m
0 F ( n 2 + m, n 2 + j + m, 1 + j + m; α2 0)
= ( n 2 ) j( n 2 ) m( n 2 + j) m
(1) j (1) m (1 + j) m
α j+2m
0 (1 − α 2 0) 1−n−m F (1 + j − n 2 , 1 − n 2 , 1 + j + m; α2 0)
(6.83)
La deuxième expression met à profit la formule d’Euler donnée en (3.154), qui donne une donne une meilleure
convergence du calcul des fonctions hypergéométriques lorsque α 0 est voisin de 1. N’oublions pas en effet que
le développement proposé ici se fait avec α 0 fixé numériquement pour chaque couple de planètes, les variations
des demi-grands axes étant pris en compte analytiquement par l’intermédiaire de la variable δ ; il importe donc
que les fonctions de α 0 soient calculables de la façon la plus efficace possible.
Il reste à écrire : exp √ −1j(l − l ′ ) = θ j θ ′j exp √ −1j(L − L ′ ) , puis à utiliser les techniques de développement
de (r/a) n θ m vues dans la remarque 2 du §3-13.8 pour aboutir, par des manipulations de polynômes, à un
développement de la forme :
D −n =
+∞∑
j=−∞
+∞∑
h=0
∑
M∈N 4 (d)
φ M,h,j (α 0 ) δ h X k X k X ′k′ X ′k′ exp √ −1j(L − L ′ ) (6.84)
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