Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 13.4.0 • Page 159 de 396
Avec M = E − e sin E et dM = [1 − 1 e(exp iE + exp −iE)] dE, on obtient :
2
c (n)
k
= 1 ∫ 2π
exp i[(n − k)E + ke sin E] (1 − e (exp iE + exp −iE)) dE
2π 0
2
= J k−n (ke) − e 2 (J k−n−1(ke) + J k−n+1 (ke)) d’après (3.124)
Pour k = 0 on a :
c (0)
0 = 1 ; c (1)
0 = −e/2 ; c (n)
0 = 0 pour
{
n ≠ 0
n ≠ 1
Pour k ≠ 0 on a, d’après (3.125) :
d’où l’expression plus simple de c (n)
k
:
On en déduit aussi : c (−n)
−k
= c (n)
k
ke
2 (J k−n−1(ke) + J k−n+1 (ke)) = (k − n) J k−n (ke)
c (n)
k
= n k J k−n(ke) pour k ≠ 0
En décomposant exp inE en parties réelle et imaginaire, on a enfin, d’abord :
cos nE = c (n)
0 +
+∞∑
k=−∞
k≠0
n
k J k−n(ke) cos kM
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