Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.4.4 • Page 205 de 396
L’expression (4.27) se simplifie si le corps est un solide et si le repère Oijk a son origine confondue avec
G, centre de masse, et est orienté de façon à être principal d’inertie en ce point (c’est alors un repère central
d’inertie) : Les produits d’inertie D, E et F sont alors nuls ; si en outre l’ellipsoïde d’inertie est de révolution
autour de Ok, les moments d’inertie A et B sont égaux et il ne reste alors de l’expression (4.27) que les termes :
U 2 (r, −, ϕ) = KM + K ( 3
r r 3 (A − C) 2 sin2 ϕ − 1 )
+ · · · (4.28)
2
Si le corps est un solide admettant 3 plans de symétrie orthogonaux 2 à 2, en prenant les axes Oi, Oj et Ok
suivant les intersections de ces plans, on obtient un repère central d’inertie dans lequel, par raison de symétries,
tous les moments d’inertie d’ordre impair sont nuls : il ne reste donc que les termes correspondant à n pair.
Comme U est alors aussi fonction périodique et paire de λ, de période π, on ne trouve dans U que des termes en
cos 2kλ :
U(r, λ, ϕ) = KM r
{
1 + 1 [ A + B − 2C
r 2 2M
+
∞∑
m∑
m=2 k=0
a 2m,2k
M
( 3
2 sin2 ϕ −
2)
1 ]
3(B − A)
+
4M
cos2 ϕ cos 2λ
1
} (4.29)
(2k)
2m
P 2m (sin ϕ) cos 2kλ
r
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