Cours de Mécanique céleste classique

⊙ ⊕ ∅
Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.5 • Page 346 de 396
d = 60, la précision de cette représentation n’est encore que de quelques 10 −5 ; il n’est pas pensable de développer
en polynômes de Legendre jusqu’à des degrés aussi élevés.
En fait, il est plus intéressant de calculer directement le développement en série de Fourier de 1/∆, soit
(1/a ′ ) ∑ p φ p(α) cos pS, d’autant plus que chaque φ p (α) est alors calculable exactement (φ (d)
p (α) n’est qu’une
représentation tronquée de φ p (α)). Pour cela, nous verrons d’abord le cas où les orbites sont coplanaires, puis le
cas où l’inclinaison mutuelle des 2 orbites est petite.
25.1.5. Réduction au problème plan
L’angle S est alors égal à ψ = l − l ′ , différence des longitudes vraies. Posons : D 2 = 1 + ρ 2 − 2ρ cos ψ , de
sorte que l’on a :
1
∆ = 1 (
1 + ρ 2
r ′ − 2ρ cos(l − l ′ ) ) −1/2 1 =
r ′ (6.74)
D
Pour ρ fixé, la fonction 1/D est périodique, de période 2π vis-à-vis de la variable ψ, et paire par rapport à cette
variable. Elle admet donc un développement en série de Fourier de la forme :
1
D = 1 2 b(0)
1/2 (ρ) + ∞
∑
On a pareillement, de façon plus générale, pour tout entier positif n :
j=1
D −n = ( 1 + ρ 2 − 2ρ cos ψ ) −n/2
=
+∞
∑
b (j)
1/2
(ρ) cos jψ (6.75)
j=−∞
1
2 b(|j|) n/2 (ρ) exp √ −1jψ (6.76)
•Sommaire •Index •Page d’accueil •Précédente •Suivante •Retour •Retour Doc •Plein écran •Fermer •Quitter