Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.4.0 • Page 195 de 396
Soient S ce corps (pas forcément solide), D l’espace (ou volume) qu’il occupe, ρ(Q) la masse volumique
en Q (l’un de ses points), M sa masse totale, G son centre de masse. Soit Oijk un repère attaché à S et dans
lequel on pourra repérer aussi bien les particules Q qui le composent, que le point extérieur P où l’on désire
calculer son potentiel de gravitation. Le point O est à priori quelconque mais choisi dans le voisinage de S
et sera généralement confondu avec G ; de même la base ijk est pour le moment quelconque. En repérant P
par des coordonnées sphériques (r, λ, ϕ) dans Oijk, on recherche le potentiel sous forme d’un développement
convergent en puissances de 1/r, c’est-à-dire de la forme :
U(P ) = U 2 (r, λ, ϕ) = 1 r
∞∑
n=0
W n (λ, ϕ)
r n =
∞∑
n=0
V n avec V n = W n(λ, ϕ)
r n+1 (4.13)
Ainsi, à condition que les fonctions W n soient toutes bornées, lorque r est assez grand, le développement de
U(P ) sera assimilable à son premier terme : W 0
r . Il suffit donc de prendre W 0 = KM pour que le potentiel de S
se réduise à celui d’un point de masse M.
∑
On doit avoir ∆ U = 0 quelque soit r assez grand (pour être à l’extérieur de S) ; il faut donc que l’on ait
n ∆ V n = 0. Cependant, comme V n est par définition une fonction de degré (−n − 1) par rapport à r, le
Laplacien ∆ V n est de degré (−n − 3) et la somme ∑ n ∆ V n ne pourra être nulle quelque soit r que si chaque
∆ V n est identiquement nul. Donc chaque V n est une fonction harmonique, dite harmonique homogène de degré
(−n − 1) par rapport à r. Les fonctions W n , indépendantes de r, sont des fonctions harmoniques sphériques,
restrictions de V n à la sphère de rayon 1.
Remarque. Les fonctions V n sont qualifiées d’homogènes car, en les exprimant en coordonnées cartésiennes
(x, y, z), elles deviennent homogènes, c’est-à-dire formées de monômes d’un même degré par rapport à l’ensemble
des (x, y, z). Alors, comme il y a un nombre fini de monômes de 3 variables et de degré donné, il y a
aussi un nombre fini de fonctions harmoniques homogènes d’un même degré donné ; on verra bientôt que V n
peut être décrit par 2n + 1 monômes. La forme générale de V n est ainsi un polynôme homogène de ces trois
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