Cours de Mécanique céleste classique

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de U k qui sont fonctions explicites de la longitude moyenne de la planète P k . Les autres équations font intervenir
les diverses dérivées partielles des fonctions U k par rapport aux variables de chaque planète (cependant, le calcul
de ∂U
∂a est à remplacer ici par 1 ∂U
a0
) ; les parties séculaires S (U)
∂η 1 proviennent directement de l’application
des équations (5.52) à la partie séculaire U de U (on en a donné une expression limitée au degré 2 en (6.91)
ou (6.92)). On obtient alors finalement, pour chaque équation, un développement analogue à (6.103), et ainsi,
l’élément d’indice k de ces matrices colonnes est de la forme :
[ɛP (U)
1,p (A, X , Z) exp √ −1(p · L)] k
= ∑ i≠k
[ɛS (U)
1 (A, X , Z)] k
= ∑ i≠k
ɛ i
∑
1 + ɛ k
ɛ i
1 + ɛ k
V (Uki)
00 (6.118a)
{p k ,p i }̸=(0,0)
V (Uki)
p k p i
exp √ −1(p k L k + p i L i ) (6.118b)
où V p (Uki)
k p i
est formellement identique à (6.104) ; il va donc de soi que la dépendance indiquée de S (U)
1 et de
P (U)
1,p vis-à-vis de (A, X , Z), s’étend implicitement aux variables conjuguées des z k et ζ k . Les développements
de dA/dt et de dL/dt vérifient les mêmes relations de d’Alembert qu’en (6.105), mais, pour dX /dt et dZ/dt,
il y a des modifications dues au fait que dans dz k
dt par exemple (cf. (5.52)), on dérive U k par rapport à z k , ou on
multiplie par z k des dérivées partielles de U k qui ne modifient pas les exposants des monômes ; ainsi, on pourra
vérifier que les développements des équations donnant dz k
dt et dζ k
dt
p k = k 2 − k 1 + k 6 − k 5 + j + 1
p i = k 4 − k 3 + k 8 − k 7 − j
avec
k 5 + k 6 + k 7 + k 8
k 5 + k 6 + k 7 + k 8
vérifient la propriété de d’Alembert modifiée :
pair dans dz k
dt
impair dans dζ k
dt
(6.119)
On en déduit notamment que la partie séculaire est au moins de degré 1 en X dans dX /dt, et au moins de degré
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