Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 26.2.3 • Page 389 de 396
par rapport aux n variables d’inclinaisons ζ j ; dans tous les cas, le degré global de ces termes est impair, croissant
de 2 en 2 à partir du degré 1. Cette propriété est conservée pour les termes séculaires d’ordres supérieurs. En
séparant les termes degré par degré, on peut écrire ces équations sous la forme :
d ̂X
dt = √ −1(S 1 ̂X + S3 ( ̂X , Ẑ) + · · · )
dẐ
dt = √ −1(S ′ 1 Ẑ + S′ 3( ̂X , Ẑ) + · · · ) (6.167)
où S 1 et S ′ 1 sont deux matrices carrées constantes et d’ordre 1 au moins en ɛ. Si on linéarise ce système autonome,
il se sépare en deux sous-systèmes :
d ̂X
dt = √ −1S 1 ̂X et
dẐ
dt = √ −1S ′ 1 Ẑ (6.168)
On pourrait montrer que S 1 et S ′ 1 sont diagonalisables : En introduisant les matrices de passage P et P ′
formées de leurs vecteurs propres respectifs, et en notant Λ et Λ ′ les matrices diagonales formées de leurs
valeurs propres, on a :
Pla2.3
P −1 S 1 P = Λ et P ′−1 S ′ 1P ′ = Λ ′ (6.169)
Alors, en effectuant les changements de variables ̂X ↦→ X et Ẑ ↦→ Z définis par :
̂X = PX et Ẑ = P ′ Z (6.170)
on obtient les nouvelles équations linéaires :
dX
dt = √ −1ΛX
et
dZ
dt = √ −1Λ ′ Z (6.171)
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