Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 21.5.0 • Page 262 de 396
a 2 e
U J2 (a, e, i, Ω, ϖ, L) = µ J 2
a 3 ×
{ (1
2 − 3 ) ( (
4 sin2 i (1 − e 2 ) −3/2 + 3e + 27 )
8 e3 cos(L − ϖ)
+ 9 2 e2 cos(2L − 2ϖ) + 53
)
8 e3 cos(3L − 3ϖ) + O(e 4 )
+ 3 ( (
4 sin2 i 1 − 5 )
)
2 e2 cos(2L − 2Ω) +
cos(L + ϖ − 2Ω)
+
(
− e 2 + e3
16
( 7
2 e − 123
16 e3 )
cos(3L − ϖ − 2Ω) + 17
+ e3
48
2 e2 cos(4L − 2ϖ − 2Ω)
)}
845
cos(L − 3ϖ + 2Ω) +
48 e3 cos(5L − 3ϖ − 2Ω) + O(e 4 )
(5.62)
Notons que ce développement est moins simple que le précédent puisqu’il dépend de toutes les variables, mais
il est plus “régulier” : en facteur d’un cos(jL + kϖ + lΩ) on trouve au moins e |k| sin |l| i, et l’on a toujours
j + k + l = 0 (cf. propriété de d’Alembert).
De même, pour exprimer U en éléments de Delaunay, il suffit de remplacer a par L 2 /µ, e par √ 1 − G 2 /L 2 ,
sin 2 i par (1 − Θ 2 /G 2 ), ω par g et M par l. Ainsi, par exemple, la partie U J2 indépendante de l’anomalie
moyenne devient :
U J2 (L, G, Θ, −, −, −) = µ 4 a 2 (
e
J 2
L 3 G 3 − 1 4 + 3 Θ 2 )
4 G 2 (5.63)
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