Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.0.0 • Page 329 de 396
25. Problème des N corps de type planétaire
Un tel problème est caractérisé par la prépondérance de la masse m 0 sur les n autres masses m i , et par
l’hypothèse que les n points correspondants P i décrivent autour de P 0 des orbites bien hiérarchisées qui restent
voisines de cercles coplanaires centrés sur P 0 ; on a vu que cela permet de traiter ces n corps comme n problèmes
képlériens perturbés mutuellement. On supposera donc désormais que les P i sont ordonnés selon cette hiérarchie
par distances croissantes (|r i+1 | > |r i |). Dans la suite, on appellera généralement Soleil le point P 0 et planètes les
autres points, mais les résultats pourront s’appliquer également au système de n − 1 satellites P i d’une planète
P 0 , qui se perturbent mutuellement et qui sont perturbés par le Soleil P n (ils sont éventuellement perturbés aussi
par la non-sphéricité de la planète, et, à un degré bien plus faible, par les autres planètes).
On se propose donc ici d’étudier les perturbations du mouvement képlérien héliocentrique des planètes ; nous
partons pour cela des équations du mouvement écrites en (6.14) et (6.15) pour les vecteurs de position P 0 P k = r k
et réécrites sous la forme :
avec :
d 2 r k
dt 2
= −µ k r k
|r k | 3 + n∑
i=1 (i≠k) grad k U ki pour k = 1, . . . , n (6.40)
(
m i 1
µ k = K(m 0 + m k ) et U ki = µ k
m 0 + m k |r i − r k | − r )
i · r k
|r i | 3
(6.41)
Le mouvement képlérien osculateur héliocentrique de P k est défini par le premier terme de (6.40), avec la
constante d’attraction µ k ; ce mouvement osculateur est bien sûr supposé elliptique, avec un demi-grand axe
a k et un moyen mouvement n k vérifiant à tout instant la troisième loi de Kepler :
n 2 ka 3 k = µ k (6.42)
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