Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 11.0.0 • Page 92 de 396
de (3.1) :
d 2 R a
P 2 P 1
dt 2 = Γ(P 1 /R a ) − Γ(P 2 /R a ) = −K m 1 + m 2
r 3 P 2 P 1 (3.3)
On a de nouveau un champ de gravitation, mais il correspond maintenant à une masse (m 1 + m 2 ) qui serait
placée au centre attractif P 2 . D’ailleurs, les mouvements absolus et relatifs sont semblables puisqu’on passe de
l’un à l’autre par une translation d’origine et une homothétie :
GP 1 =
m 2
m 1 + m 2
P 2 P 1
Pour obtenir l’un ou l’autre de ces mouvements, il nous suffit donc d’étudier le problème général défini par
l’équation :
d 2 OP
dt 2
= −µ OP
|OP| 3
où O est un centre fixe qui attire un point P par l’intermédiaire du champ de gravitation “émis” par O avec une
constante d’attraction µ positive. Le rapport
K µ est la masse réduite du point O. Ce problème est encore appelé
problème de Kepler ou problème képlérien.
11. Le problème de Kepler et le mouvement képlérien
Notons r le rayon vecteur OP et r la distance |OP|. Le problème de Kepler est défini pour tout r non nul par
l’équation différentielle vectorielle :
¨r = − µ r 3 r = ∂ ( µ
)
avec µ > 0 (3.4)
∂r r
Pb1
Pb2
Pb3
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