Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 12.7.0 • Page 148 de 396
celui de la Terre (donc situé dans l’écliptique), il faut 4 observations car une orbite dans ce plan est définie
par 4 constantes (par exemple : a, e, ω, t p ), et parce que chaque observation dans ce plan ne donne qu’une
donnée à savoir la longitude de l’astre. Ceci permet de prévoir qu’un mouvement voisin de l’écliptique sera mal
déterminé si l’on dispose de seulement 3 observations. D’une façon générale, il est d’ailleurs souhaitable d’en
avoir davantage afin d’atténuer statistiquement l’effet des inévitables erreurs d’observation.
Il existe plusieurs méthodes de détermination d’orbite. Toutes cependant s’efforcent de donner d’abord, par
approximations successives, la distance de la Terre à l’astre observé aux instants d’observation : La méthode de
Gauss pour les orbites elliptiques (ou d’Olbers pour les orbites paraboliques) part de la connaissance approchée
que l’on peut avoir de la constante des aires lorsqu’on dispose de 3 observations espacées de quelques semaines ;
en revanche, la méthode de Laplace que nous allons voir, suppose qu’on ait au moins 3 observations {ρ(τ i )},
assez rapprochées dans le temps pour pouvoir déterminer les vecteurs ρ 0 , ˙ρ 0 et ¨ρ 0 à un instant moyen τ 0 ; cette
méthode se prète bien au calcul automatique et a l’avantage de convenir à tout type d’orbite. Son principe est de
fournir les vecteurs position et vitesse héliocentrique de l’astre à l’instant τ 0 , à condition de conna^ıtre ρ 0 , ˙ρ 0 et
¨ρ 0 à cet instant ; il suffit ensuite d’appliquer le formulaire décrit en §12.5 pour obtenir les éléments de l’orbite.
Pour cela, notons R le rayon vecteur géocentrique du Soleil ; on le connait à chaque instant grâce aux éphémérides
du Soleil publiées chaque année par exemple dans la Connaissance des Temps. On peut donc aussi en
déduire (numériquement) sa vitesse Ṙ à un instant quelconque. Soient r et ṙ les vecteurs position et vitesse
héliocentriques de l’astre, inconnus au départ et que l’on cherche à déterminer pour l’instant τ 0 . Soit enfin ∆ la
distance geocentrique de l’astre à cet instant, également inconnue. On a alors, à tout instant :
r = ∆ ρ − R (3.106)
d’où l’on tire par dérivation :
ṙ = ˙∆ ρ + ∆ ˙ρ − Ṙ (3.107)
¨r = ¨∆ ρ + 2 ˙∆ ˙ρ + ∆ ¨ρ − ¨R (3.108)
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