Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 26.2.3 • Page 390 de 396
Ces équations représentent 2n équations scalaires de la forme : dx k
= √ −1λ
dt
k x k , où les λ k sont les valeurs
propres des matrices. Leur solution est immédiate, et s’exprime en fonction de constantes d’intégration arbitraires
X 0 et Z 0 :
X = (exp √ −1Λt) X 0 et Z = (exp √ −1Λ ′ t) Z 0 (6.172)
où (exp √ −1Λt) représente la matrice carrée diagonale dont les éléments sont exp √ −1λ k t ; même chose pour
la matrice exp √ −1Λ ′ t. On évalue les constantes X 0 et Z 0 en fonction des valeurs ̂X 0 et Ẑ 0 que prennent les
variables ̂X et Ẑ à un instant initial défini par t = 0 :
X 0 = P −1 ̂X0 et Z 0 = P ′−1 Ẑ 0
Finalement, la solution du système autonome linéarisé s’écrit matriciellement :
̂X = P (exp √ −1Λt) P −1 ̂X0 et Ẑ = P ′ (exp √ −1Λ ′ t) P ′−1 Ẑ 0
Les solutions ẑ k et ˆζ k qui composent ces matrices sont donc des sommes de mouvements circulaires dans le plan
complexe, ou sommes vectorielles de vecteurs tournants :
ẑ k =
ˆζ k =
n∑
a ik exp √ −1(λ i t + ϕ i )
i=1
n∑
b ik exp √ −1(λ ′ it + ψ i )
i=1
(6.173)
Comme les matrices S 1 et S ′ 1 résultent du produit de N 0 par des quantités d’ordre 1 au moins en ɛ, leurs valeurs
propres représentent des vitesses angulaires très petites, de l’ordre de ɛN 0 . Pour le système des grosses planètes
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