Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 12.5.0 • Page 141 de 396
de P correspondant à un problème képlérien de foyer O et de constante d’attraction µ :
F µ : (t 0 , x, y, z, ẋ, ẏ, ż) ↦−→ (Ω, i, ω, h, p, t p ) (3.92)
Le calcul de ces éléments, ou de ceux donnés en (3.45) à (3.49), peut être décrit par le formulaire suivant, qui
utilise les notations introduites en §11. On calcule d’abord :
r = x i 0 + y j 0 + z k 0 = r u ⇒
{
r = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2
u = r/r
(supposé ≠ 0)
ṙ = ẋ i 0 + ẏ j 0 + ż k 0 ⇒ r ṙ = r · ṙ
h = ṙ · ṙ/2 − µ/r
{
G = (G · G)
1/2
G = r ∧ ṙ = G k ⇒
k = G/G (si G ≠ 0)
e = ṙ ∧ G/µ − u
p = G 2 /µ
e = (1 + 2hp/µ) 1/2
q = p/(1 + e)
Si e est voisin de zéro, il vaudra mieux calculer e par une autre formule pour éviter l’erreur de cancellation
dans la soustraction de deux nombres voisins de 1. On trouvera cette autre formule en (3.97), dans le traitement
du cas elliptique.
Si G est nul (mouvement rectiligne porté par u), on peut définir k comme étant un vecteur unitaire orthogonal
à u, par exemple : k = (u ∧ k 0 )/|u ∧ k 0 |, ou k = i 0 si u et k 0 sont colinéaires ; en procédant ainsi, on aura un
formulaire unique, valable pour les mouvement plan et rectiligne. L’inclinaison i est le seul angle qui soit défini
entre 0 et π : les valeurs entre 0 et à π/2 correspondent à un mouvement direct, et celles supérieures à π/2 à un
mouvement rétrograde. Les autres angles sont tous définis entre 0 et 2π et leur calcul est organisé de façon à les
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