Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 13.9.0 • Page 178 de 396
L − ϖ. En transposant l’expression (3.133) de (w − M), on obtient :
λ = L + 2
+
∞∑
k=1
1
(
J k (ke) +
k
∞∑
(−1) k 1 k
k=1
∞∑
n=1
sin 2k (i/2)
(1 − sin 2 (i/2)) k ×
)
q n (J k−n (ke) + J k+n (ke)) sin k(L − ϖ)
( sin 2k(L − Ω) cos 2k(w − M) + cos 2k(L − Ω) sin 2k(w − M))
(3.147)
où q n peut être calculé par (3.138) et où les sinus et cosinus de 2k(w−M) s’expriment en fonction de coefficients
de Hansen (voir par exemple (3.146) avec n = 0 et m = ±2k).
Cependant, si l’excentricité et l’inclinaison sont petites devant 1, il vaut mieux utiliser des variables régulières
en e = 0 et i = 0 et faire un développement en série entière de e et de sin(i/2) au voisinage de ces valeurs. En
posant, avec ı 2 = −1 :
X = e exp ı(L − ϖ) [ ≡ e exp ıM ] ¯X = e exp −ı(L − ϖ)
Y = sin(i/2) exp ı(L − Ω) Ȳ = sin(i/2) exp −ı(L − Ω)
(3.148)
Exercice on voit aisément que l’on peut obtenir (3.147) sous forme d’une série entière des 4 variables complexes X, ¯X,
Y et Ȳ (on développe (1 − sin2 (i/2)) −k = (1 − Y Ȳ )−k par la formule du binôme). Cette série est de degré
pair par rapport à l’ensemble des variables Y et Ȳ . En la tronquant aux termes de degrés utiles, λ − L devient
un polynôme de ces 4 variables. En fait, on peut construire ce polynôme par des manipulations de polynômes
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