Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.6 • Page 352 de 396
où les exposants M = {k, k, k ′ , k ′ , l, l, l ′ , l ′ } vérifient les mêmes relations (6.64) et (6.67) (c’est-à-dire propriété
de d’Alembert C M = C I et développement pair en inclinaisons). La quantité δ est ici développée en puissances
positives de η et de η ′ , avec H = {h, h ′ } tel que h + h ′ < H max (comme η et η ′ sont de l’ordre des masses, il
suffit souvent de prendre H max de l’ordre de 1 ou 2). Par ailleurs, la valeur utile de J max croît avec l’ordre de
grandeur de α 0 ; pour les grosses planètes du système solaire, la valeur la plus grande de α 0 est voisine de 0,72
(pour le couple Vénus-Terre), et pour les calculs de grande précision concernant ce couple, on peut aller jusqu’à
J max = 50 ; cependant, pour α 0 de l’ordre de 0,1 , il peut suffire de prendre J max = 5.
Le degré d étant fixé, une façon de construire par ordinateur le développement (6.89) à partir de l’expression
(6.88), peut consister à calculer une fois pour toutes, d’une part tous les polynômes de degré d en X et X (ou
en X ′ et X ′ ) représentant les fonctions du type (r/a) n θ m présentes dans (6.88), d’autre part les polynômes de
degré d en X, X, X ′ , X ′ , Y , Y , Y ′ et Y ′ représentant les quelques puissances utiles de W . On organise ces
polynômes en tableaux ordonnés suivant une liste adressable des exposants de chaque monôme. On calcule par
ailleurs toutes les fonctions de α 0 utiles pour le système de planètes considéré. Par adressage de ces tableaux,
il est alors possible de reconstituer le coefficient de chaque terme de (6.89) à partir de la donnée des exposants
{h, k, k, k ′ , k ′ , l, l, l ′ , l ′ } et des entiers p et p ′ .
Si d est faible, on peut cependant encore tenter un développement “à la main” : Par exemple, pour obtenir
un développement au degré 2 en excentricités et inclinaisons, et au degré 0 en δ, il suffit de développer les 2
premiers termes de la somme (6.87) :
[ a
′ ]
∆
d=0..2
[ a
′
=
r
]d=0..2 ′ D−1 + 1 [ r
2 W a
a ′2
r ′2 D−3 ]d=0
Le premier crochet doit être développé au degré 2 en excentricités, tandis que l’autre, en facteur de W qui est
déjà de degré 2, ne doit être développé qu’au degré 0 ; d’après (6.88), et puisque (( r a )2 ( a′ ) 2 − 1) est de degré 1
r ′
au moins, on peut donc écrire :
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