Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 11.4.0 • Page 110 de 396
intérêt est particulièrement évident quand, en plus, h est nul, puisque la solution régularisée, polynomiale en τ :
r(τ) = 1 2 µτ 2 et t − t p = 1 6 µτ 3 , équivaut à la fonction r(t) = [(9µ/2)(t − t p ) 2 ] 1/3 dont le graphe présente un
point de rebroussement en t = t p .
r(t)
r(τ)
t p
t
0
τ
(t − t p )(τ)
Cependant, la régularisation n’est pas seulement une méthode intéressante pour l’intégration analytique d’équations
sujettes à des singularités ; c’est aussi une technique très efficace pour intégrer numériquement de telles
équations. Par exemple, pour intégrer numériquement en fonction de t les équations du mouvement képlérien
dont l’une, de la forme ṙ = f(r, w), est singulière en r = 0, on calcule en principe r(t + h) connaissant au moins
r(t) [h est ici le “pas d’intégration”]. La méthode élémentaire fondée sur le développement de Taylor de r(t)
consiste à écrire par exemple :
r(t + h) = r(t) + h f(r(t), w(t))
Cependant, si les conditions initiales conduisent à un mouvement très excentrique, tel que r devient très petit, il
faut compenser les fortes variations de f(r, w) au voisinage de r = 0 par des variations correspondantes du pas
h, de façon à ce que h f(r, w) reste toujours “assez petit”. L’utilisation d’une méthode d’intégration numérique
“à pas constant” (telles les méthodes d’Adams) ne peut alors convenir. Au contraire, si après avoir changé de
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