Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.5 • Page 348 de 396
où F est la fonction hypergéométrique de Gauss, déjà exprimée en (3.152) en fonction des coefficients de Pochhammer
(a) k définis en (3.153). Pour j < 0, on calcule b (−j)
s
Ainsi exprimés, les coefficients de Laplace se calculent avec toute la précision souhaitée lorsque ρ est fixé
numériquement. En fait, pour des orbites elliptiques, ρ varie mais, si les excentricités sont faibles, ρ reste dans un
petit voisinage autour d’une valeur fixe. Plus précisément, on verra plus loin que a et a ′ varient en restant toujours
très voisins de valeurs constantes a 0 et a ′ 0 ; en les mettant sous la forme a = a 0 (1 + η) et a ′ = a ′ 0(1 + η ′ ), le
rapport α = a/a ′ reste voisin de α 0 = a 0 /a ′ 0 et l’on peut introduire la quantité δ, petite comme les perturbations
η et η ′ :
On peut écrire ensuite : ρ = α r a a′
r ′ = α 0 (1 + δ) r a a′
r ′ , d’où :
α = α 0 (1 + δ) où δ = η − η′
1 + η ′ (6.79)
ρ 2 = α 2 0(1 + σ) avec σ = (1 + δ) 2 ( r
a
) 2 ( a
′
r ′ ) 2
− 1 (6.80)
Comme a r a′
et
r ′ sont de l’ordre de 1 + O(e) ou 1 + O(e ′ ), la quantité σ est petite, au moins d’ordre 1 en e, e ′
ou δ. On peut alors développer les fonctions hypergéométriques en séries de Taylor au voisinage de ρ 2 = α0 2 ; en
appliquant la règle de dérivation
on obtient : F (a, b, c; α 2 0(1 + σ)) =
d
ab
F (a, b, c; x) =
dx c
∞∑
m=0
(a) m (b) m
(c) m
F (a + 1, b + 1, c + 1; x) (6.81)
α0 2m σ m
F (a + m, b + m, c + m; α 2
m!
0) et finalement, de (6.76),
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