Cours de Mécanique céleste classique

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⊙ ⊕ ∅ Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 19.0.0 • Page 228 de 396 à chaque instant à partir de r et ṙ sont ainsi des fonctions du temps. Autrement dit, dans l’espace K µ , le point représentant le mouvement de P n’est plus fixe mais décrit une courbe en fonction du temps. Cependant, l’intérêt d’étudier les variations des éléments d’orbite n’est justifié que si ces variations sont d’une certaine façon plus faibles que celles de r et de ṙ. En fait, l’utilisation des éléments osculateurs se justifie surtout dans le cas où F représente une perturbation, c’est-à-dire une accélération petite par rapport à l’accélération képlérienne : on verra en effet que les variations des éléments d’orbite sont alors petites ou lentes, et qu’elles restent finalement bornées dans un intervalle de temps suffisamment grand. Ainsi, bien que le formulaire que l’on va établir soit valable quelque soit F, on ne l’utilisera que pour des perturbations du mouvement képlérien ; par ailleurs, comme la majorité des applications pratiques concerne des perturbations de mouvements képlériens elliptiques, on supposera que les éléments osculateurs restent de type elliptique quelque soit t. Les éléments osculateurs dont on se propose de rechercher les variations en fonction de t seront donc ceux du mouvement elliptique, par exemple (a, e, i, Ω, ω, M 0 ), ou d’autres qui s’en déduisent comme en (3.45) à (3.49). Notons cependant qu’avec M 0 = M(t 0 ), comme on fait t 0 = t à chaque instant, il reste M 0 = M(t) : l’anomalie moyenne est ainsi considérée comme un élément osculateur. On va d’abord exprimer les variations des éléments osculateurs dans le cas général où F est un vecteur quelconque, puis dans le cas particulier, mais fréquent en Mécanique Céleste, où F dérive d’un potentiel. Remarque 1. Même dans le cas où F est une perturbation, la description du mouvement de P par une suite continue de mouvements képlériens osculateurs n’est pas toujours la meilleure représentation du mouvement réel. Par exemple, on peut imaginer ce cas simple d’un mouvement réel circulaire représenté à chaque instant par un mouvement osculateur képlérien elliptique : il suffit de considérer une accélération radiale du type F = F (r) u. Le mouvement circulaire uniforme est alors une des solutions possibles de l’équation (5.1) car alors le mouvement est plan et, dans ce plan, en coordonnées polaires (r, θ), on a la loi des aires r 2 ˙θ = C et ˙θ constant pour r constant ; de l’accélération radiale ¨r − r ˙θ 2 = −µ/r 2 + F (r) où ¨r = 0, on déduit la vitesse constante V sur ce cercle : V 2 = r 2 ˙θ2 = µ/r − rF (r). Or dans le mouvement circulaire képlérien de foyer O et de constante µ, •Sommaire •Index •Page d’accueil •Précédente •Suivante •Retour •Retour Doc •Plein écran •Fermer •Quitter
⊙ ⊕ ∅ Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 20.0.0 • Page 229 de 396 la vitesse “circulaire” V c à la distance r vérifie : Vc 2 = µ/r. Comme la vitesse réelle est différente de cette vitesse circulaire, l’orbite képlérienne osculatrice n’est pas un cercle : suivant le signe de F (r), la vitesse réelle V est inférieure ou supérieure à V c mais sa direction est toujours orthogonale au rayon vecteur ; si F est positif (c’està-dire V < V c ), P est alors à l’apocentre d’une ellipse osculatrice de foyer O, de constante µ, d’excentricité e telle que V 2 = Vc 2 (1 − e) et de demi-grand axe a tel que a(1 + e) = r ; comme cette situation est permanente, c’est que la direction du grand axe de cette orbite osculatrice tourne autour de O à la même vitesse ˙θ que le point P . Ainsi, le mouvement réel circulaire est ici représenté par un mouvement osculateur elliptique d’excentricité et de demi-grand axe constants et cette ellipse tourne avec P de telle sorte que P se trouve en permanence à l’apocentre : l’anomalie moyenne osculatrice est alors constante et égale à π, et la longitude du péricentre varie à vitesse constante, comme θ. On a un résultat analogue si F est négatif : l’orbite osculatrice n’est plus forcément une ellipse, mais P se retrouve en permanence au péricentre d’une conique osculatrice de foyer O, de constante µ, d’excentricité et de paramètre constants (donnés par V 2 = Vc 2 (1 + e) et p = r(1 + e)), et dont l’axe tourne autour de O à la même vitesse que P . Remarque 2. L’orbite osculatrice képlérienne n’est pas en général située dans le plan osculateur de la trajectoire au sens des mathématiciens, ce dernier étant le plan passant par P et contenant les vecteurs ṙ et ¨r. Au contraire, comme on le voit avec la formule (5.2), le plan du mouvement képlérien osculateur est celui passant par P et contenant les vecteurs r et ṙ. 20. Variations des éléments osculateurs pour F quelconque Les constantes d’intégration du mouvement képlérien sont exprimables sous une forme plus ou moins explicite des vecteurs position et vitesse, comme en (5.2) à (5.5). En notant σ l’une quelconque de ces constantes, on •Sommaire •Index •Page d’accueil •Précédente •Suivante •Retour •Retour Doc •Plein écran •Fermer •Quitter
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