Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 21.5.0 • Page 259 de 396
d’où l’expression du terme indépendant de M dans le développement de Fourier de U J4 :
a 4 e
U J4 (a, e, i, −, ω, −) = −µ J 4
a 5 (1 − e2 ) −7/2 ×
{(
1 + 3 ) ( 3
2 e2 8 − 15
8 sin2 i + 105 )
64 sin4 i + 3 ( 15
4 e2 8 sin2 i − 35 )
16 sin4 i
Notons que contrairement à U J2 , cette expression dépend de ω.
k=1
} (5.58)
cos 2ω
Revenons à la forme générale du potentiel perturbateur en J 2 exprimé en fonction des éléments osculateurs :
a 2 { (1 ) ( ∞∑
)
e
U J2 (a, e, i, −, ω, M) = µ J 2
a 3 2 −3 4 sin2 i (1 − e 2 ) −3/2 + 2 X −3,0
k
(e) cos kM
k=1
+ 3 (
∑ ∞
4 sin2 i X −3,2
k
(e) cos(2ω + kM)
(5.59)
Exercice Notons que Ω n’apparait pas dans cette expression, et donc ∂U J 2
+
∞∑
k=1
)}
X −3,−2
k
(e) cos(2ω − kM)
= 0. On en déduirait assez facilement les
∂Ω
dérivées partielles de U J2 par rapport à a, i, ω et M. Au contraire, la dérivée partielle par rapport à e est plus
difficile à obtenir ; on peut en fait expliciter la dérivée des coefficients de Hansen en fonction d’autres coefficients
de Hansen par la formule :
d
de Xn,m k
(e) = 1 (m − n) Xn−1,m+1
k
(e) − 1 2 2
m
+
2(1 − e 2 ) (Xn,m+1 k
(m + n) Xn−1,m−1
k
(e)
(e) − X n,m−1
k
(e))
(5.60)
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