Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.3 • Page 339 de 396
Notons que cos S est de degré pair par rapport à l’ensemble des variables d’inclinaison ζ, ζ, ζ ′ et ζ ′ .
Cependant, à la place des longitudes vraies, il convient d’introduire les longitudes moyennes L et L ′ ; on a :
l = ϖ + w = ϖ + M + (w − M) = L + (w − M). On introduit ainsi l’équation du centre w − M, qui dépend de
l’excentricité et de l’anomalie moyenne, et dont on connait des représentations diverses (cf. (3.133) ou (3.140) ;
on a de même l ′ = L ′ + (w ′ − M ′ ). Reprenant encore les notations :
on obtient :
θ = exp √ −1(w − M) et θ ′ = exp √ −1(w ′ − M ′ ) (6.59)
cos S = Re { θθ ′ (χχ ′ + ζζ ′ ) 2 exp √ −1(L − L ′ ) + θθ ′ (χζ ′ − χ ′ ζ) 2 exp √ −1(L + L ′ ) } (6.60)
Enfin, avec les variables Y et Y ′ et leurs conjuguées, on obtient cos S sous forme d’un polynôme où n’intervient
plus que la combinaison (L − L ′ ) :
cos S =Re{θθ ′ [ χ 2 χ ′2 exp √ −1(L − L ′ ) + 2χχ ′ Y Y ′ + Y 2 Y ′2 exp − √ −1(L − L ′ ) ]
+ θθ ′ [ χ 2 Y ′2 exp √ −1(L − L ′ ) − 2χχ ′ Y Y ′ + Y 2 χ ′2 exp − √ −1(L − L ′ ) ] }
(6.61)
Comme les inclinaisons sont supposées petites, on peut encore développer χ et χ ′ en fonction de Y , Y , Y ′ et
Y ′ puisqu’on a aussi, pour χ par exemple :
χ = √ 1 − Y Y = 1 − 1 2 Y Y − 1 8 Y 2 Y 2 + · · · (6.62)
Quant à θ et θ ′ , ils s’expriment en fonction des variables X, X ′ et de leurs conjuguées (cf. (6.50)). Dans ces
conditions, cos S s’exprime sous forme d’un développement en série entière des 8 quantités X, X, X ′ , X ′ , Y ,
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