Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 26.2.3 • Page 388 de 396
26.2.3. Solution du système séculaire
Conformément au développement de Taylor explicité en (6.159), lorsqu’on a ainsi déterminé la solution ɛ Ũ 1,
on peut calculer les parties séculaires ɛ 2 S 2 du système d’équations (6.160) à (6.163) ; d’ailleurs, on peut voir que
d’une façon générale, la connaissance de la solution ɛ k Ũ k d’ordre k permet de construire les parties séculaires
d’ordre k+1. Notons que par construction, les seconds membres des équations (6.160) à (6.163) ne dépendent pas
du temps explicitement : C’est par définition un système autonome d’équations différentielles ; ici, on l’appelle
aussi système séculaire.
Pla2
Ayant donc construit le système séculaire à un ordre suffisant en ɛ, il reste à le résoudre. Jusqu’à l’ordre 2,
en raison du théorème de Poisson, d est nul, et donc  est constant ; on a vu que sa valeur est déterminée
dt
pour que l’équation d ̂Q ne possède plus de terme constant, afin que la valeur moyenne de dL
dt dt soit égale à N 0.
Par ailleurs, la variable ̂Q n’apparaît pas dans les seconds membres du système séculaire car ces variables sont
nécessairement associées aux inégalités périodiques :
exp √ −1(p · L) = exp √ −1(p · ̂Q + p · ˜Q) × exp √ −1(p · N 0 ) t
Les variables qui composent ̂Q sont donc présentes uniquement dans les termes qui dépendent explicitement
du temps (si toutefois il n’y a aucune résonance entre les moyens mouvements moyens). Dans ces conditions,
l’équation (6.163) pourra être résolue par simple quadrature dès que seront connues les solutions relatives à ̂X
et Ẑ.
Pour trouver ̂X et Ẑ (Eqs (6.161) et (6.162)), il faut se souvenir que d’après la propriété de d’Alembert (cf.
remarque 1 dans §26), les termes séculaires d’ordre 1 en ɛ dans les équations dz k
sont de degré 1 au moins par
dt
rapport à l’ensemble des n variables d’excentricité z j , tandis que ceux des équations dζ k
sont de degré 1 au moins
dt
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