Cours de Mécanique céleste classique

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⊙ ⊕ ∅ Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 23.1.0 • Page 300 de 396 prendra plus loin, en faisant N = n + 1, on numérotera ces N corps de 0 à n : Ainsi P 0 , P 1 , . . . P n auront pour masses respectives m 0 , m 1 , . . . m n . 23. Mise en équations du problème des N corps Les N corps sont isolés dans l’espace, de sorte que dans un repère galiléen R O d’origine O, les équations du mouvement s’écrivent : d 2 OP k ∑k−1 Km i m k m k dt 2 = |P i=0 k P i | 3 P kP i + n∑ i=k+1 Km i m k |P k P i | 3 P kP i k = 0, . . . , n (6.1) Dans la partie 3, on a vu en détails que pour N = 2 (cf. (3.1)), ces équations s’intègrent, aboutissant au mouvement képlérien des 2 corps. En fait, pour N supérieur ou égal à 3, ces équations n’ont pas de solution générale. On sait seulement construire certaines solutions particulières, ou des solutions approchées, valables sur un intervalle de temps limité. On ne va donc pas aborder dans ce cours l’étude générale du problème des N corps, mais seulement certaines de ses applications au système solaire : On va voir notamment dans quelles circonstances le problème des 3 corps peut se réduire à celui de perturbations de mouvements képlériens. Par extension, on en déduira que le problème de n planètes tournant autour du Soleil peut être d’abord représenté par n problèmes de 2 corps (Soleil-planète), chacun de ces problèmes étant ensuite perturbé par la présence des autres planètes. On pourra alors appliquer à ces problèmes les méthodes de perturbations introduites dans la partie 5. Avant cela, il convient cependant d’examiner quelques unes des propriétés générales du problème des N corps. •Sommaire •Index •Page d’accueil •Précédente •Suivante •Retour •Retour Doc •Plein écran •Fermer •Quitter
⊙ ⊕ ∅ Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 23.1.0 • Page 301 de 396 23.1. Intégrales premières Le problème des N corps est représenté par N équations différentielles du second ordre ; c’est donc un système d’équations scalaires d’ordre 6N. Montrons qu’il existe 10 intégrales premières scalaires, qui permettraient donc de le réduire à un système d’ordre 6N − 10. On a d’abord 6 intégrales premières qui proviennent du mouvement rectiligne et uniforme de G, centre de masse des N corps. En effet, le système étant supposé isolé, la somme de toutes les interactions mutuelles est nulle(cf. (4.3)) ; on a donc : n∑ k=0 m k d 2 OP k dt 2 = 0 = M d2 OG dt 2 (6.2) où M représente la masse totale des N corps. On a alors OG = OG 0 + V G t où OG 0 et V G sont deux vecteurs constants représentant 6 constantes d’intégration scalaires. On pourrait réduire le problème à celui de N − 1 corps, déterminant le mouvement de P 1 , P 2 , . . . P n autour de G et déduisant celui de P 0 de la relation : m 0 GP 0 = − n∑ m i GP i (6.3) On a ensuite 3 intégrales premières données par le théorème du moment dynamique appliqué à un système isolé : n∑ d 2 OP k OP k ∧ m k dt 2 = 0 = d ( n∑ dOP ) k OP k ∧ m k dt dt k=0 Exercice Le moment cinétique en O du système des N corps est donc un vecteur constant. Le repère d’origine G en i=1 k=0 •Sommaire •Index •Page d’accueil •Précédente •Suivante •Retour •Retour Doc •Plein écran •Fermer •Quitter
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