Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 11.4.0 • Page 101 de 396
Mais, tenant compte des expressions (3.12) et (3.13) de p, on obtient alors :
h = − µ 2a
dans le cas elliptique
h = 0
h =
µ 2a
dans le cas parabolique
dans le cas hyperbolique
(3.17)
Exercice Ainsi, c’est le signe de h qui caractérise aussi la nature de la conique : l’ellipse correspond à h < 0, la parabole
à h = 0 et l’hyperbole à h > 0. La valeur absolue de h caractérise le grand axe de cette conique, c’est-à-dire
sa taille (entre l’ellipse et l’hyperbole, la parabole peut être considérée comme ayant un grand axe infini, ou
comme une conique ayant son deuxième foyer rejeté à l’infini). On verra en détails en §3-12.4 comment a ou h
caractérisent aussi l’énergie d’une orbite.
Finalement, si G ≠ 0, dans tous les cas il n’y a que 5 constantes arbitraires scalaires indépendantes : 3
composantes pour G et 2 composantes pour e dans le plan orbital (normal à G), ou bien 3 composantes pour G,
h et un angle donnant la direction du péricentre dans le plan orbital, ou bien encore deux angles pour repérer dans
l’espace la direction de G, un demi-grand axe à la place de h, puis l’excentricité et un angle pour la direction du
péricentre. Ces éléments géométriques sont à la base de la définition des éléments d’orbite que l’on verra après
avoir étudié le mouvement P sur cette orbite. Si G = 0, certaines propriétés du mouvement képlérien rectiligne
peuvent encore être déduites de celles obtenues pour le mouvement plan en faisant tendre G ou p vers zéro tout
en maintenant h fixé : D’après (3.15), quelque soit le signe de h, l’excentricité tend alors vers 1 : si h < 0,
l’ellipse dégénère en un segment de droite de longueur 2a = −µ/h, dont les extrémités sont les deux foyers de
l’ellipse-limite infiniment aplatie et réduite à son grand axe ; si h ≥ 0, l’hyperbole ou la parabole dégénèrent en
une demi-droite issue du foyer O ; dans tous les cas, le segment ou la demi-droite support du mouvement a pour
vecteur unitaire u 0 = −u, et l’anomalie vraie w peut être considérée comme constante, égale à π.
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