Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 19.0.0 • Page 228 de 396
à chaque instant à partir de r et ṙ sont ainsi des fonctions du temps. Autrement dit, dans l’espace K µ , le point
représentant le mouvement de P n’est plus fixe mais décrit une courbe en fonction du temps. Cependant, l’intérêt
d’étudier les variations des éléments d’orbite n’est justifié que si ces variations sont d’une certaine façon plus
faibles que celles de r et de ṙ.
En fait, l’utilisation des éléments osculateurs se justifie surtout dans le cas où F représente une perturbation,
c’est-à-dire une accélération petite par rapport à l’accélération képlérienne : on verra en effet que les variations
des éléments d’orbite sont alors petites ou lentes, et qu’elles restent finalement bornées dans un intervalle de
temps suffisamment grand. Ainsi, bien que le formulaire que l’on va établir soit valable quelque soit F, on ne
l’utilisera que pour des perturbations du mouvement képlérien ; par ailleurs, comme la majorité des applications
pratiques concerne des perturbations de mouvements képlériens elliptiques, on supposera que les éléments osculateurs
restent de type elliptique quelque soit t. Les éléments osculateurs dont on se propose de rechercher les
variations en fonction de t seront donc ceux du mouvement elliptique, par exemple (a, e, i, Ω, ω, M 0 ), ou d’autres
qui s’en déduisent comme en (3.45) à (3.49). Notons cependant qu’avec M 0 = M(t 0 ), comme on fait t 0 = t à
chaque instant, il reste M 0 = M(t) : l’anomalie moyenne est ainsi considérée comme un élément osculateur.
On va d’abord exprimer les variations des éléments osculateurs dans le cas général où F est un vecteur
quelconque, puis dans le cas particulier, mais fréquent en Mécanique Céleste, où F dérive d’un potentiel.
Remarque 1. Même dans le cas où F est une perturbation, la description du mouvement de P par une suite
continue de mouvements képlériens osculateurs n’est pas toujours la meilleure représentation du mouvement
réel. Par exemple, on peut imaginer ce cas simple d’un mouvement réel circulaire représenté à chaque instant
par un mouvement osculateur képlérien elliptique : il suffit de considérer une accélération radiale du type F =
F (r) u. Le mouvement circulaire uniforme est alors une des solutions possibles de l’équation (5.1) car alors le
mouvement est plan et, dans ce plan, en coordonnées polaires (r, θ), on a la loi des aires r 2 ˙θ = C et ˙θ constant
pour r constant ; de l’accélération radiale ¨r − r ˙θ 2 = −µ/r 2 + F (r) où ¨r = 0, on déduit la vitesse constante V sur
ce cercle : V 2 = r 2 ˙θ2 = µ/r − rF (r). Or dans le mouvement circulaire képlérien de foyer O et de constante µ,
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