Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 8.0.0 • Page 75 de 396
Dans le cas général où le changement de variables dépend du temps, il reste cependant à trouver la fonction F ∗ .
Le théorème suivant, qui donne une autre condition nécessaire et suffisante de canonicité d’un changement de
variables, peut aider à trouver cette fonction.
Théorème 2. Pour qu’une transformation (q i , p i ) ↦→ (x j , y j ) soit canonique, il faut et il suffit qu’il existe
F tel que la forme différentielle :
n∑
(p j dq j − y j dx j ) + F dt (2.19)
soit une différentielle totale, et on a alors : F = H ′ − H ∗ = −F ∗
j=1
En effet, en supposant que ce soit une différentielle totale, montrons que les conditions de canonicité du
théorème 1 sont satisfaites. Pour cela, exprimons d’abord la forme différentielle (2.19) en fonction des nouvelles
variables (à l’aide de (2.13)) et identifions-la à la différentielle totale d’une fonction G(x i , y i , t) :
(
n∑ n∑ ( ∂fj
g j dx k + ∂f ) )
j
dy k + ∂f n∑
j
∂x
j=1
k ∂y k ∂t dt − y k dx k + F dt = dG
k=1
k=1
Comme on a aussi :
dG =
n∑
k=1
( ∂G
∂x k
dx k + ∂G
∂y k
dy k
)
+ ∂G
∂t dt
on obtient, en identifiant les coefficients de dx k , de dy k et de dt :
n∑
j=1
g j
∂f j
∂x k
− y k = ∂G
∂x k
(2.20)
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